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1、第5章 频域分析法基本要求51 频率特性52 典型环节的频率特性53 系统的开环频率特性54 频率稳定判据55 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系56 开环频率特性与系统阶跃响应的关系返回主目录基本要求 1.正确理解频率特性的概念。2.熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线.熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线.熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。返回子目录5.熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7.理解闭环
2、频率特性的特征量与控制管理系统阶跃响应的定性关系。8.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统来进行分析与比较。一、控制管理系统在正弦信号作用下的稳态输出51 频率特性输入信号：其拉氏变换式返回子目录 闭环传递函数：输出拉氏反变换得是系统的瞬态分量，最后趋于零。是系统的稳态分量。同理：将B、D代入（55）则（56）式中 从式（56）看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。稳态输出的幅值稳态输出的相位二、频率特性的定义 线性定常系统，在正弦信号作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，称为系统的幅频率特性；稳态输出相位与输入相位之差，
3、称为系统的相频率特性。二、频率特性的定义 线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称复相特性）。频率特性表达式为例子 以RC网络为例 其传递函数频率特性例子 以RC网络为例频率特性幅频特性:相频特性:三、频率特性的几种表示方法1、幅频特性、相频特性、幅相特性=，为系统的幅频特性。为系统的相频特性。图52RC网络的幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性曲线 RC网络的幅相特性曲线幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线。对数频率特性 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线 对数坐标刻度图注意 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。采用对数坐标图的优点较多，主要体现在：由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段频率特性的形状对于控制管理系统性能的研究具有较重要的意义)，而将高频段相对压缩了。可以在较宽的频段范围中研究系统的频
5、率特性。由于对数可将乘除运算变成加减运算。当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加、减即可，从而简化了画图的过程。在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有相当的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。52 典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）1)幅频特性2)相频特性3)对数幅相特性返回子目录幅相特性：传递函数：图55 比例环节的频率特性曲线二、积分环节幅相特性传递函数幅频
6、特性相频特性图56 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性积分环节的对数幅频特性与对数相频特性分别为：积分环节对数幅频曲线在处通过 线，斜率为；对数相频特性为直线。三、惯性环节（一阶系统）传递函数幅相特性幅频特性：相频特性：图58 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线惯性环节幅相特性曲线为半径的半圆。证明如下：其中 代入式 整理后可得 惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上1/2 处，半径为1/2。为正值时，只能取负值，这在某种程度上预示着曲线限于实轴的下方，只是半个圆。对数频率特性 当当图59 惯性环节的对数频率特性曲线四、振荡环节（二阶系统）传递函数
8、om om*om;bode(num,den);hold on;end振荡环节的对数幅频特性不仅与 有关，而且与阻尼比有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能会导致较大的误差。五、微分环节图515 六、一阶微分环节图516 七、二阶微分环节图517 二阶微分环节的对数频率特性八、一阶不稳定环节图518非最小相位环节 定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。由图518看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。九、延迟环节延迟环节输入输出关系为 g=tf(1,
9、2,1);bode(g)nyquist(g);返回子目录53 系统的开环频率特性 一、开环幅相特性曲线 设系统开环传递函数由若干典型环节串联开环频率特性系统开环幅频与相频分别为1、开环幅相特性曲线）当系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图520 系统开环幅相特性曲线时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线 含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。时，2.系统开环幅相的特点当频率 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率
10、时，若nm，G(j)=0相角为(m-n)/2。若G(s)中分子含有s因子环节，其G(j)曲线随 变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。已知单位反馈系统的开环传递函数为试概略绘出系统开环幅相曲线）与坐标轴的交点，零点极点分布图如图5-22(a)所示。显然（1）起点二、开环对数频率特性曲线的绘制 系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。系统开环对数幅频与对数相频表达式为系统开环对数幅频与对数相频表达式为例51 绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：系统开环传递函数 开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是
11、已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。例5251234五个基本环节绘制开环系统的波特图将写成典型环节之积；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐近线；在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。一般规则：例53例54 已知最小相位系统的开环对数幅频渐进特性曲线，求系统的开环传递函数。54 频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图517 反馈控制管理系统返回子目录开环传递函数闭环传递函数令将F(s)写成零、极点形式，则辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差
12、常数1。由1.幅角原理1.幅角原理如果封闭曲线 内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P和Z之差，即RPZ若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。s平面s 映射 F(s)正虚轴 j(:0)F(j)(:0)负虚轴 j(:0)F(j)(:0)半径的半圆(1,j0)点2.奈式判据图5-29 包括全部右半平面地封闭曲线.奈式判据 F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。F(j)包围原点就是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。GH平面0F平面1对于G(j)H(j):0，开环极坐标图；:0，与开环极坐标图以
13、轴镜像对称；F平面(1,j0)点就是GH平面的坐标原点。奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根的个数为Z，且有 Z=P R 若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z 0，闭环系统是不稳定的。或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线)点P圈时，闭环系统是稳定的。2.奈式判据0+开环有积分环节的系统 由于开环极点因子1/s，既不在的s 左半平面，也不在的s 右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判
14、据。j 0 如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。02.奈式判据在GH平面上开环极坐标图在=0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从=0到=0+顺时针旋转v 180 的大圆弧。如此处理之后，就能够准确的通过奈氏判据来判断系统的稳定性了。ImRe0=0+增补线-用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从 0时的开环幅相曲线)点的圈数N（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半平面根的个数P，根据公式 Z=P 2N 来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的
15、。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转v 90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。2.奈式判据（实际方法）例55 已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别闭环系统稳定性。Z=P-2N=0-2(-1)=2,不稳定例56 已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。1)分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线)根据开环传递函数，P1。K=0.5时，绕(-1,j0)点转过的圈数为0，Z=P-2N=1,闭环系
16、统不稳定。K=2时，绕(-1,j0)点反时针转过圈数为1/2，Z=P-2N=1-2(1/2)=0,闭环系统稳定。图532 系统开环幅相特性曲线 已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据闭环系统稳定性。ReIm01(+)()由图可知，幅相曲线)点。此结果也能够准确的通过 增加时幅相曲线自下向上(幅角减小)和自上向下(幅角增加)穿越实轴区间(，1)的次数决定。N=N N 自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。二、对数频率稳定判据奈氏判据也可叙述为：在开环幅相特性 曲线，沿 增加的方向，对（1，）的负实轴段正、负穿越次数之差等于，则
17、闭环系统稳定。二、对数频率稳定判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内，正负穿越 线。注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过负1800线为正（负）穿越。N+（N-）为正（负）穿越次数，从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。图534 幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为。即 为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。当开环系统有积分环节时，对应在对数相频曲线上 处，用虚线向上补画，在计算正负穿
18、越将补画的虚线看成对数相频曲线 已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图。由开环传递函数可知P=0。图535所以闭环稳定例510 已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图 图537 在 处振荡环节的对数幅频值为闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为曲线与负实轴交点处的频率 称为相角交界频率 曲线与单位圆交点处的频率称为截止频率 三、稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。三、稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。相位裕度极坐标图的矢量与负实轴的夹角。即对数坐标图上 处与的差 模稳定裕度h：幅值裕度是指（1
19、，j0）点的幅值1与 之比，用h表示 在对数坐标图上即h的分贝值等于 与0dB 之间的距离（0dB 下为正）相角裕度的物理意义在于：稳定系统在截止频率处若相角再迟后一个 角度，则系统处于临界状态；若相角迟后大于，系统将变成不稳定。幅值裕度的物理意义在于：稳定系统的开环增益再增大 倍，则处的幅值等于1，曲线），点系统处于临界稳定状态；若开环增益增大 倍以上，系统将变成不稳定。一般要求：例5-11 某单位反馈系统的开环传递函数为试求时系统的相角裕度和幅值裕度。解 绘制开环增益 时的 曲线 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 图示单位反馈系统的闭环传递函数为 图54
20、0返回子目录p等M圆 为常数的轨迹设 整理得 等 圆方程一、等M圆图和等N圆图 根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。设 整理得 等 圆方程等N圆 为常数的轨迹一、等M圆图和等N圆图二、尼科尔斯图（N.b.Nichols)如果将开环频率特性表示为则做变换得由等M线和等 线组成的图，称为尼科尔斯图。如图545所示。图545 尼科尔斯图三、利用闭环幅频特性分析和估算 系统的性能 在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。图548 闭环幅频特性曲线）零频的幅值 反映系统
21、在阶跃信号作用下是不是真的存在静差。2）谐振峰值 反映系统的平稳性。此值大说明动态过程超调量大，平稳性差，反之平稳性好。3）带宽频率 反映系统的快速性下降到0.707 对应的频率值 一阶系统：二阶系统 4）闭环幅频 在 处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。斜率越陡，抗高频干扰的能力越强。定量估算用频域分析方法估算系统的动态性能实验测试稳定性稳定裕度闭环频率 特征量奈氏判据对数判据总 结 56 开环频率特性与系统阶跃响应的关系图551 系统开环对数幅频渐近特性曲线返回子目录 低频段通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。一、低频段低频段渐近线、统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据低频段能确定系统型别 和开环增益，利用第3章中介绍的静态误差系数法能确定系统在给定输入下的稳态误差。二、中频段 中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。图553二、中频段 中频段 特性集中反映了系统的平稳性和快速性。二、中频段 中频段 特性集中反映了系统的平稳性和快速性。三、高频段对于单位反馈系统在高频段，一般有，即系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。重点掌握频率特性的定义及系统在正弦信号 作用下的稳态输出。绘制频率特性图（Nyquist 图和Bode图）。根据Bode图求传递函数。本章知识点及主要线索部件闭环系统稳定性开环对数判据乃氏判据尼科尔斯图三频段定性闭环幅频特性
