上一章节讲述了频域分析法常用的数学工具, 以及应用场景. 现在我们该可以熟练的绘制以及计算系统的什么图以及方程之类的.
在上一章节讲述过, 频域分析法主要分析的是系统的稳态性能, 并能定量的引入稳定裕度的概念, 这一点是优于其他方法的. 本章将讲述的就是怎么样去使用频域分析法来定量分析. 引入相关概念和定理.
如果接上文的话, 那么自然的应该先讲Nyquist稳定判据. 但是这里要用到一个数学工具, 介绍一下Cauchy辐角原理.
其中z_i, p_j分别是函数的零点和极点, 那么有: s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围 s 平面上 F(s) 的 I 个零点和 J 个极点. 当 s 以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈, 其中 N = I－J
换而言之一下结论就显然了. 因为函数的零极点正是自变量(s)取该值时的因变量等于零或无穷的点. 因为函数在解析平面上处处解析, 所以必然连续, 那么因变量平面也必然连续, 所以就会绕圈圈.
定义:令函数等于0时的s的值称为函数的一个零点(0值点), 同理, 可以定义令函数等于u时的s的值称为函数的一个u值点.
对于一个复变函数F(s), 那么有: s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围 s 平面上 F(s) 的 U 个u值点和 J 个极点. 当 s 以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线将以顺时针方向绕u点旋转N圈, 其中 N = U－J .
广义辐角定理的另一种说法: 做封闭路径曲线, 如果想知道曲线包围的范围内的u值点的数目, 那么只需要延路径顺时针方向绕一圈, 象平面绕u点N圈, 则u值点的数目U有: N = U - J , 其中J是路径包围区域的极点数目.
考虑原象平面内动点s从s_1到s_2的某个连续曲线, 则象平面动点的相角变化为
那么求F(s)在曲线路径下, 绕 u 值点的圈数相当于求解G(s)在相同路径下绕零点的圈数.
开环N氏判据: 若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线)点包围的次数为N，(N 0 顺时针，N0逆时针) ,则闭环系统在右半平面的极点数为: Z = N + P。若 Z = 0，则闭环系统稳定，否则不稳定.
换而言之: N图逆时针包围-1+j0点的圈数应该等于G在右半平面上的极点个数.
注意到这里是针对单位负反馈, 看开环前馈部分的N图, 然后判断总系统(闭环系统)的稳定性的.
闭环N氏判据(引理): 若系统的传递函数在右半平面上有Z个零点，且频率特性曲线)点包围的次数为N，(N 0 顺时针，N0逆时针) ,那么, 若 Z = N，则系统稳定，否则不稳定.
换而言之: 如果已得到系统的总的传递函数, 那么系统右半平面的零点数目必须刚好等于N图绕0+0j点的次数.
旋转向量计数法: 绕了n圈的数法: 能够准确的通过Nyquist图的曲线方向, 先选择一个点, 然后从想计算绕圈的那个点引出一个指向这个点的向量, 然后看这个向量转了几圈.
首先有个定理: 如果\omega从-\infty\rightarrow+\infty变化, 那么N图肯定是总体顺时针的. 如果不是封闭的, 那么无穷大半圆补齐. 这里的所谓顺时针方向是相对于原点的. (省略证明)
如果这个圆足够大, 那么应包括了系统函数G的右半平面内的所有零极点. (由于分子阶数低于分母阶数, 无穷远点不可能是极点).
对于开环系统, 根据辐角定理, 象平面(N图)绕-1+j0的圈数(顺时针为正)相当于开环传递函数G(s)在右半平面上的 (-1+j0)值点数目减去极点数目. 如果N图逆时针圈数(相当于负圈数)不等于极点数目, 那么必然的,G(s)在右半平面上有 (-1+j0)值点. 这也代表着\Delta=1+G(s)在右半平面上有零点.
而单位负反馈闭环传递系统函数,H(s)=\frac{G}{1+G}, 则必然存在右半平面上的极点.
相同的, 不影响. 只不过N图可能会经过无穷远处, 用半圆补全即可. 注意保证相对于原点处的顺时针性质.
系统开环传递函数趋于无穷大, 路径避开这些极点即可. 方法是从右边避开.
在原点有v重零极点, 即在s=0点,G_{k}(s)不解析, 若取奈氏路径同上时（通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆）, 不满足柯西辐角定理.
为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个 s 右半平面, 重构奈氏路径如下：以原点为圆心, 半径为无穷小做右半圆, 此时奈氏路径由四部分组成.
定义: 在N图上, 随着ω的增加，频率特性的相角也是增加的，称为频率特性对负实轴的(-∞，-1)段的正穿越；反之称为负穿越. 注意区段仅为实轴的(-∞，-1)段
容易知道: 顺时针包围(−1, j0)点的圈数 = 负穿越次数 −正穿越次数
Nyquist稳定判据的正负穿越描述: 设开环系统传递函数G_k (s)在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要 条件是：频率特性曲线)段的正负穿越次数差 (就是M, 上文的-N) 为 P, 即 -N = P =M.
因为N图是系统函数的参数方程画出的向量轨迹. B图是将两个变量分开画的, 所以理论上, 该办法能够移植到Bode图上使用.
⚠如果还是没办法理解正负穿越描述的话, 那就不妨画一下N图, 根据正负穿越补全N图的结构(只要保证内禀性质即可, 并不全是真实的), 最好补全整个-∞到+∞的ω的N图, 这样就能知道绕圈圈的数目了, 进而通过辐角定理得知是不是真的存在右侧的G的1值点(H特征式的极点). 从而判断系统稳定性.
因为B图上对应到N图, 只有正频率部分, 所以理所应当的, 总数目应该是N图的1/2.
Bode图稳定判据的正负穿越描述: 当频率增加时，在L(ω0)区段,对数相频特性对-180°线的正负穿越次数差为P/2. 即M=N_+-N_-=P/2时, 系统稳定. 其中 P 是开环传递函数的右半平面极点数.
答: 没有. (因为不稳定系统也可能有Bode图, 而且非最小相位系统和最小相位系统只是相位图不一样, 老实反推系统传递函数吧, Routh判定挺好用的)
引理:开环传递函数为纯时延网络时, 单位负反馈系统的稳定的充要条件是: 增益大于1 (=0dB) 时延必须小于 π . 否则反馈系统出现正反馈, 出现自激振荡.
这个在多级三极管放大器电路中比较注意. 有时候放大级数多了之后, 每个三极管之间的结电容累计, 产生的相位延迟大于180°, 此时如果引入负反馈则会出现自激振荡, 必须避免.
稳定裕度的定义: 在N图中利用开环传递函数的极坐标图与(-1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定或不稳定的程度.
对于最小相位系统，L＞0 dB 和 γ＞0° 是同时发生或同时不发生的，所以系统的稳定裕度常用相位稳定裕度来表示.
对于高阶系统，N图中幅值为1的点或相角为 -180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度有极大几率会出现歧义.
延迟时间t_d:输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间. (delay)
上升时间t_r:输出响应首次达到稳态值所需的时间. (常用这个) (raise)
⚠重要:峰值时间t_p: 输出响应超过稳态值达到第1个峰值所需时间. (peak)
⚠重要:最大超调量\sigma\%:暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数.
⚠重要:调整时间t_s:y(t)与y(\infty)之间的差值首次达到允许范围以内, 且之后不会超出所用的时间. (这里为啥是字母s, 我也不知道...) 数学上记作
中频段（0.1ω_c~10ω_c, 即 0dB 点前后10倍频率处）:反映闭环系统动态响应稳定性/快速性
低频段和高频段可以有更大的斜率：低频段斜率大, 提高稳态性能；频段斜率大，提高干扰能力
0dB特征频率ω_c的大小取决于系统的快速性要求，这个值越大快速性好，但抗干扰能力下降
试判断闭环系统稳定性并讨论稳定性和K的关系? 使用Bode, Nyquist图判断闭环系统的稳定性. 使用Routh阵列判断? 使用Nyquist法则判断?
这是某Ⅱ型系统的开环频率特性，且s右半平面无极点，试用Nyquist判据判断闭环系统稳定性.
已知非最小相位系统开环传递函数为G_{k}(\omega)=\frac{K}{s(T s-1)}, 确定闭环系统稳定的K值范围，不稳定时求出闭环右极点数?
已知非最小相位系统开环传递函数为G_{k}(s)=\frac{K(s-1)}{(s-2)(s-4)}, 确定闭环系统稳定的K值范围，不稳定时求出闭环右极点数?
